मात्रात्मक योग्यता प्रश्न 991
प्रश्न: निम्नलिखित आकृति में, AB केंद्र O वाले वृत्त का एक व्यास है। यदि ( \angle BOD=15{}^\circ ) और ( \angle EOA=85{}^\circ ), तो ( \angle ECA ) का माप है
विकल्प:
A) ( 45{}^\circ )
B) ( 35{}^\circ )
C) ( 30{}^\circ )
D) ( 70{}^\circ )
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उत्तर:
सही उत्तर: B
हल:
- $ \angle AOB=180{}^\circ $
$ \Rightarrow $ $ \angle AOE+\angle EOD+\angle DOB=180{}^\circ $ [कोण योग गुणधर्म से]
$ \Rightarrow $ $ 85{}^\circ +\angle EOD+15{}^\circ =180{}^\circ $
$ \angle EOD=80{}^\circ $
$ \because $ $ OD=OE $ [वृत्त की त्रिज्या]
$ \therefore $ $ \angle OED=\angle ODE=\frac{180{}^\circ -\angle EOD}{2} $
$ =\frac{180{}^\circ -80{}^\circ }{2}=50{}^\circ $ $ [\because OE=OD] $
$ \therefore $ $ \angle ODC=180{}^\circ -\angle ODE $
$ =180{}^\circ -50{}^\circ =130{}^\circ $
अब, $ \Delta DOC $ में
$ \angle ODC+\angle DOC+\angle DCO=180{}^\circ $
$ \Rightarrow $ $ 130{}^\circ +15{}^\circ +\angle DCO=180{}^\circ $
$ \Rightarrow $ $ \angle DOC=35{}^\circ $
$ \therefore $ $ \angle ECA=35{}^\circ $
वैकल्पिक विधि
दिया है, $ \angle BOD=15{}^\circ , $ $ \angle EOA=85{}^\circ $
$ \therefore $ $ \angle EOD=180{}^\circ -(85{}^\circ +15{}^\circ )=80{}^\circ $
$ \therefore $ $ \Delta EOD $ में, $ EO=OD $ [वृत्त की त्रिज्या]
$ \therefore $ $ \angle OED=\angle ODE=\frac{(180{}^\circ -80{}^\circ )}{2}=\frac{100{}^\circ }{2}=50{}^\circ $
अब, $ \Delta OEC $ में
$ \angle OCE=180{}^\circ -(50{}^\circ +80{}^\circ +15{}^\circ ) $
$ =180{}^\circ -145{}^\circ =35{}^\circ $
$ \therefore $ $ \angle ECA=35{}^\circ $
BETA
