A) $ 45{}^\circ $
B) $ 35{}^\circ $
C) $ 30{}^\circ $
D) $ 70{}^\circ $
Correct Answer: B
$ \Rightarrow $ $ \angle AOE+\angle EOD+\angle DOB=180{}^\circ $ [by angle sum property]
$ \Rightarrow $ $ 85{}^\circ +\angle EOD+15{}^\circ =180{}^\circ $ $ \angle EOD=80{}^\circ $ $ \because $ $ OD=OE $ [radius of circle]
$ \therefore $ $ \angle OED=\angle ODE=\frac{180{}^\circ -\angle EOD}{2} $ $ =\frac{180{}^\circ -80{}^\circ }{2}=50{}^\circ $ $ [\because OE=OD] $
$ \therefore $ $ \angle ODC=180{}^\circ -\angle ODE $ $ =180{}^\circ -50{}^\circ =130{}^\circ $ Now, in $ \Delta DOC $ $ \angle ODC+\angle DOC+\angle DCO=180{}^\circ $
$ \Rightarrow $ $ 130{}^\circ +15{}^\circ +\angle DCO=180{}^\circ $
$ \Rightarrow $ $ \angle DOC=35{}^\circ $
$ \therefore $ $ \angle ECA=35{}^\circ $ Alternate Method Given, $ \angle BOD=15{}^\circ , $ $ \angle EOA=85{}^\circ $
$ \therefore $ $ \angle EOD=180{}^\circ -(85{}^\circ +15{}^\circ )=80{}^\circ $
$ \therefore $ In $ \Delta EOD, $ $ EO=OD $ [radius of circle]
$ \therefore $ $ \angle OED=\angle ODE=\frac{(180{}^\circ -80{}^\circ )}{2}=\frac{100{}^\circ }{2}=50{}^\circ $ Now, in $ \Delta OEC $ $ \angle OCE=180{}^\circ -(50{}^\circ +80{}^\circ +15{}^\circ ) $ $ =180{}^\circ -145{}^\circ =35{}^\circ $
$ \therefore $ $ \angle ECA=35{}^\circ $
BETA
