मात्रात्मक योग्यता प्रश्न 818
प्रश्न: एक टावर के पाद से होकर जाने वाली क्षैतिज रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं A और B से टावर के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः $ 15{}^\circ $ और $ 30{}^\circ $ हैं। यदि A और B टावर के एक ही ओर स्थित हैं और $ AB=48m $ है, तो टावर की ऊँचाई है
विकल्प:
A) $ 24\sqrt{3}m $
B) $ 24m $
C) $ 24\sqrt{2}m $
D) $ 96m $
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उत्तर:
सही उत्तर: B
हल:
- माना मीनार की ऊँचाई $ hm $ है और $ BC=xm $
$ \Delta ACD $ में,
$ \tan 15{}^\circ =\frac{h}{x+48} $
$ \Rightarrow $ $ \tan (45{}^\circ -30{}^\circ )=\frac{h}{x+48} $
सूत्र से,
$ \frac{\tan 45{}^\circ -\tan 30{}^\circ }{1+\tan 45{}^\circ \times \tan 30{}^\circ }=\frac{h}{x+48} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1\times \frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{h}{x+48} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{h}{x+48} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{h}{x+48} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{2(2-\sqrt{3})}{2}=\frac{h}{x+48} $
$ \therefore $ $ 2-\sqrt{3}=\frac{h}{x+48} $
(i)
$ \Delta BCD $ में, $ \tan 30{}^\circ =\frac{h}{x} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x} $
$ \Rightarrow $ $ \sqrt{3}n=x $
(ii)
समीकरण (i) से,
$ 2-\sqrt{3}=\frac{h}{\sqrt{3}h+48} $
$ \Rightarrow $ $ 2\sqrt{3}h-3h+(2-\sqrt{3})48=h $
$ \Rightarrow $ $ h+3h-2\sqrt{3}h=(2-\sqrt{3})\times 48 $
$ \Rightarrow $ $ 4h-2\sqrt{3}h=(2-\sqrt{3})\times 48 $
$ \Rightarrow $ $ 2h(2-\sqrt{3})=(2-\sqrt{3})\times 48 $
$ \Rightarrow $ $ 2h=48 $
$ \therefore $ $ h=24m $
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