A) $ 24\sqrt{3}m $
B) $ 24m $
C) $ 24\sqrt{2}m $
D) $ 96m $
Correct Answer: B
$ \Rightarrow $ $ \tan (45{}^\circ -30{}^\circ )=\frac{h}{x+48} $ By the formula, $ \frac{\tan 45{}^\circ -\tan 30{}^\circ }{1+\tan 45{}^\circ \times \tan 30{}^\circ }=\frac{h}{x+48} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1\times \frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{h}{x+48} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{h}{x+48} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{h}{x+48} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{2(2-\sqrt{3})}{2}=\frac{h}{x+48} $
$ \therefore $ $ 2-\sqrt{3}=\frac{h}{x+48} $ (i) In $ \Delta BCD, $ $ \tan 30{}^\circ =\frac{h}{x} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x} $
$ \Rightarrow $ $ \sqrt{3}n=x $ (ii) From Eq. (i), $ 2-\sqrt{3}=\frac{h}{\sqrt{3}h+48} $
$ \Rightarrow $ $ 2\sqrt{3}h-3h+(2-\sqrt{3})48=h $
$ \Rightarrow $ $ h+3h-2\sqrt{3}h=(2-\sqrt{3})\times 48 $
$ \Rightarrow $ $ 4h-2\sqrt{3}h=(2-\sqrt{3})\times 48 $
$ \Rightarrow $ $ 2h(2-\sqrt{3})=(2-\sqrt{3})\times 48 $
$ \Rightarrow $ $ 2h=48 $
$ \therefore $ $ h=24m $
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