मात्रात्मक योग्यता प्रश्न 1809
प्रश्न: यदि $ x+\frac{1}{x}=3, $ तो $ x^{5}+\frac{1}{x^{5}} $ बराबर है
विकल्प:
A) 123
B) 83
C) 92
D) 112
Show Answer
उत्तर:
सही उत्तर: A
हल:
- $ x+\frac{1}{x}=3 $ … (i)
दोनों पक्षों को वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है
$ {{( x+\frac{1}{x} )}^{2}}={{(3)}^{2}} $
$ \Rightarrow $ $ x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=9 $
$ \Rightarrow $ $ x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7 $ … (ii)
पुनः दोनों पक्षों को वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है
$ {{( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} )}^{2}}={{(7)}^{2}} $
$ \Rightarrow $ $ x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2=49 $
$ \Rightarrow $ $ x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=47 $ … (iii) दोनों पक्षों को घन करने पर, हमें प्राप्त होता है $ {{( x+\frac{1}{x} )}^{3}}={{(3)}^{3}} $
$ \Rightarrow $ $ x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3( x+\frac{1}{x} )=27 $
$ \Rightarrow $ $ x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+9=27 $ $ [ \because ( x+\frac{1}{x} )=3 ] $
$ \Rightarrow $ $ x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=18 $ (iv) समीकरणों (i) और (iii) को गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है $ ( x^{4}+\frac{1}{x^{4}} )( x+\frac{1}{x} )=47\times 3 $
$ \Rightarrow $ $ x^{5}+\frac{1}{x^{5}}+x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=141 $
$ \Rightarrow $ $ x^{5}+\frac{1}{x^{5}}+18=141 $ [समीकरण (iv) से]
$ \Rightarrow $ $ x^{5}+\frac{1}{x^{5}}=123 $
BETA
