मात्रात्मक योग्यता प्रश्न 1315
प्रश्न: यदि $ (a+b):\sqrt{ab}=4:1 $ जहाँ $ a>b>0, $ तो $ a:b $ बराबर है
विकल्प:
A) $ (2+\sqrt{3}):(2-\sqrt{3}) $
B) $ (2-\sqrt{3}):(2+\sqrt{3}) $
C) $ (3+\sqrt{2}):(3-\sqrt{2}) $
D) $ (3-\sqrt{2}):(3+\sqrt{2}) $
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उत्तर:
सही उत्तर: A
हल:
- $ \frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{4}{1} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{a+b}{2\sqrt{ab}}=\frac{2}{1} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}}=\frac{2+1}{2-1} $ [कॉम्पोनेन्डो और डिविडेंडो द्वारा]
$ \Rightarrow $ $ \frac{{{(\sqrt{a})}^{2}}+{{(\sqrt{b})}^{2}}+2\sqrt{a}\sqrt{b}}{{{(\sqrt{a})}^{2}}+{{(\sqrt{b})}^{2}}-2\sqrt{a}\sqrt{b}}=\frac{3}{1} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{{{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^{2}}}{{{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}}}=\frac{3}{1} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}}{1} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} $ [कॉम्पोनेन्डो और डिविडेंडो द्वारा]
$ \Rightarrow $ $ \frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} $ दोनों पक्षों को वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं $ {{( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} )}^{2}}=\frac{{{(\sqrt{3}+1)}^{2}}}{{{(\sqrt{3}-1)}^{2}}} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{a}{b}=\frac{{{(\sqrt{3})}^{2}}+{{(1)}^{2}}+2\sqrt{3}}{{{(\sqrt{3})}^{2}}+{{(1)}^{2}}-2\sqrt{3}} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{a}{b}=\frac{4+2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{a}{b}=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} $
$ \therefore $ $ a:b=(2+\sqrt{3}):(2-\sqrt{3}) $
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