A) $ (2+\sqrt{3}):(2-\sqrt{3}) $
B) $ (2-\sqrt{3}):(2+\sqrt{3}) $
C) $ (3+\sqrt{2}):(3-\sqrt{2}) $
D) $ (3-\sqrt{2}):(3+\sqrt{2}) $
Correct Answer: A
$ \Rightarrow $ $ \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}}=\frac{2+1}{2-1} $ [by componendo and dividendo]
$ \Rightarrow $ $ \frac{{{(\sqrt{a})}^{2}}+{{(\sqrt{b})}^{2}}+2\sqrt{a}\sqrt{b}}{{{(\sqrt{a})}^{2}}+{{(\sqrt{b})}^{2}}-2\sqrt{a}\sqrt{b}}=\frac{3}{1} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{{{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^{2}}}{{{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}}}=\frac{3}{1} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}}{1} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} $ [by componendo and dividendo]
$ \Rightarrow $ $ \frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} $ On squaring both sides, we get $ {{( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} )}^{2}}=\frac{{{(\sqrt{3}+1)}^{2}}}{{{(\sqrt{3}-1)}^{2}}} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{a}{b}=\frac{{{(\sqrt{3})}^{2}}+{{(1)}^{2}}+2\sqrt{3}}{{{(\sqrt{3})}^{2}}+{{(1)}^{2}}-2\sqrt{3}} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{a}{b}=\frac{4+2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{a}{b}=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} $
$ \therefore $ $ a:b=(2+\sqrt{3}):(2-\sqrt{3}) $
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