मात्रात्मक योग्यता प्रश्न 1242
प्रश्न: यदि $ n=7+4\sqrt{3}, $ तो $ ( \sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}} ) $ का मान है
विकल्प:
A) $ 2\sqrt{3} $
B) $ 4 $
C) $ -4 $
D) $ -2\sqrt{3} $
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उत्तर:
सही उत्तर: B
हल:
- $ n=7+4\sqrt{3}=7+2\times 2\times \sqrt{3} $ $ =4+3+2\times 2\times \sqrt{3}={{(2)}^{2}}+{{(\sqrt{3})}^{2}}+2\times 2\times \sqrt{3} $ $ ={{(2+\sqrt{3})}^{2}} $ $ [\because {{(a+b)}^{2}}=a^{2}+b^{2}+2ab] $ दोनों पक्षों पर वर्गमूल लेने पर, हम पाते हैं। $ \sqrt{n}=2+\sqrt{3} $ … (i)
$ \therefore $ $ \frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}} $ [परस्पर] $ =\frac{1}{2+\sqrt{3}}\times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} $ [परिमेयकरण] $ =2-\sqrt{3} $ … (ii) समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं $ \sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4 $ वैकल्पिक विधि दिया गया है, $ n=7+4\sqrt{3} $
$ \therefore $ $ \frac{1}{n}=\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=\frac{1}{7+4\sqrt{3}}\times \frac{7-4\sqrt{3}}{7-4\sqrt{3}} $ [परिमेयकरण] $ =\frac{7-4\sqrt{3}}{{{(7)}^{2}}-{{(4\sqrt{3})}^{2}}} $ $ [\because (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}] $ $ =\frac{7-4\sqrt{3}}{49-48}=7-4\sqrt{3} $ हम जानते हैं कि, $ {{( \sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}} )}^{2}}=( n+\frac{1}{n}+2\times \sqrt{n}\times \frac{1}{\sqrt{n}} ) $
$ \Rightarrow $ $ ( \sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}} )=\sqrt{n+\frac{1}{n}+2} $ $ =\sqrt{7+4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}+2} $ $ =\sqrt{14+2}=\sqrt{16}=4 $
BETA
