मात्रात्मक योग्यता प्रश्न 974
प्रश्न: शंकु की ऊँचाई 30 सेमी है। इसके शीर्ष को इसके आधार के समानांतर एक समतल द्वारा काटकर एक छोटा शंकु अलग किया गया है। यदि उसका आयतन शंकु के आयतन का ( \frac{1}{27} ) है, तो कटाव आधार से कितनी ऊँचाई पर किया गया है?
विकल्प:
A) 6 सेमी
B) 8 सेमी
C) 10 सेमी
D) 20 सेमी
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उत्तर:
सही उत्तर: D
हल:
- माना H और R बड़े शंकु की क्रमशः ऊँचाई और त्रिज्या हैं और h और r छोटे शंकु की। चूँकि, $ \Delta AOB $ और $ \Delta AMN $ समरूप हैं। तब, आधानुपातिकता प्रमेय से,
$ \therefore $ $ \frac{AO}{AM}=\frac{BO}{MN} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{30}{h}=\frac{R}{r} $ … (i) छोटे शंकु का आयतन $ =\frac{1}{3}\pi r^{2}h $ बड़े शंकु का आयतन $ =\frac{1}{3}\pi R^{2}H $ प्रश्नानुसार, $ =\frac{1}{3}\pi r^{2}h=( \frac{1}{3}\pi R^{2}H )\times \frac{1}{27} $
$ \Rightarrow $ $ r^{2}h=\frac{R^{2}H}{27} $ $ \Rightarrow $ $ 27r^{2}h=30R^{2} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{27h}{30}=\frac{R^{2}}{r^{2}} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{27h}{30}={{( \frac{30}{h} )}^{2}} $ [समी. (i) से]
$ \Rightarrow $ $ \frac{27h}{30}=\frac{900}{h^{2}} $ $ \Rightarrow $ $ 27h^{3}=900\times 30 $
$ \Rightarrow $ $ h^{3}=\frac{900\times 30}{27}=1000 $
$ \Rightarrow $ $ h=\sqrt[3]{1000}=10cm $
$ \therefore $ अभीष्ट ऊँचाई जिसके ऊपर काटा गया $ =30-10=20cm $
BETA
