मात्रात्मक योग्यता प्रश्न 893
प्रश्न: यदि $ x\sin \theta -y\cos \theta =\sqrt{x^{2}+y^{2}} $ और $ \frac{{{\cos }^{2}}\theta }{a^{2}}+\frac{{{\sin }^{2}}\theta }{b^{2}}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}, $ तो सही संबंध है
विकल्प:
A) $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $
B) $ \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1 $
C) $ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $
D) $ \frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1 $
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उत्तर:
सही उत्तर: B
हल:
दिया गया है, $ x\sin \theta -y\cos \theta =\sqrt{x^{2}+y^{2}} $
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है
$ {{(x\sin \theta -y\cos \theta )}^{2}}={{(\sqrt{x^{2}+y^{2}})}^{2}} $
$ \Rightarrow $ $ x^{2}{{\sin }^{2}}\theta +y^{2}{{\cos }^{2}}\theta -2xy $
$ \sin \theta \cos \theta =x^{2}+y^{2} $
$ \Rightarrow $ $ x^{2}{{\sin }^{2}}\theta +y^{2}{{\cos }^{2}}\theta $
$ -2xy\sin \theta \cos \theta -x^{2}-y^{2}=0 $
$ \Rightarrow $ $ x^{2}{{\sin }^{2}}\theta -x^{2}+y^{2}{{\cos }^{2}}\theta -y^{2} $
$ -2xy\sin \theta \cos \theta =0 $
$ \Rightarrow $ $ x^{2}({{\sin }^{2}}\theta -1)+y^{2}({{\cos }^{2}}\theta -1) $
$ -2xy\sin \theta \cos \theta =0 $
$ \Rightarrow $ $ -x^{2}{{\cos }^{2}}\theta -y^{2}{{\sin }^{2}}\theta $
$ -2xy\sin \theta \cos \theta =0 $
$ \Rightarrow $ $ {{(x\cos \theta +y\sin \theta )}^{2}}=0 $ $ [\because a^{2}+b^{2}+2ab={{(a+b)}^{2}}] $
$ \Rightarrow $ $ x\cos \theta +y\sin \theta =0 $
$ \Rightarrow $ $ x\cos \theta =-,y\sin \theta $
$ \Rightarrow $ $ \tan \theta =-\frac{x}{y} $
$ \Delta ABC $ में, $ \sin \theta =\frac{BC}{AC} $
$ \Rightarrow $ $ \sin \theta =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} $ या $ -\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} $
इसी प्रकार, $ \cos \theta =-\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} $ या $ \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} $
अब, $ \frac{{{\cos }^{2}}\theta }{a^{2}}+\frac{{{\sin }^{2}}\theta }{b^{2}}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})\cdot a^{2}}+\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})\cdot b^{2}}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 $
$ \Rightarrow $ $ \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1 $
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