मात्रात्मक योग्यता प्रश्न 742
प्रश्न: यदि ( a+b+c ) तो (\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}+\frac{1}{{{(a+b)}^{3}}}+\frac{1}{{{(b+c)}^{3}}}+\frac{1}{{{(c+a)}^{3}}}) का मान ज्ञात कीजिए।
विकल्प:
A) (-1)
B) (abc)
C) (1)
D) (0)
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उत्तर:
सही उत्तर: D
हल:
दिया गया है, $ a+b+c=0 $ … (i) हम जानते हैं कि, $ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c) $ $ (a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca) $
$ \Rightarrow $ $ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0 $
$ \Rightarrow $ $ a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc $ … (ii) अब, $ \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{{{(b+c)}^{3}}}=\frac{{{(b+c)}^{3}}+a^{3}}{a^{3}{{(b+c)}^{3}}} $ $ =\frac{b^{3}+c^{3}+3b^{2}c+3bc^{2}+a^{3}}{a^{3}{{(b+c)}^{3}}} $ $ =\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+3bc^{2}+3bc^{2}}{a^{3}{{(b+c)}^{3}}} $ $ =\frac{3abc+3b^{2}c+3bc^{2}}{a^{3}{{(b+c)}^{3}}} $ [समीकरण (ii) से] $ =\frac{3bc(a+b+c)}{a^{3}{{(b+c)}^{3}}}=0 $ [समीकरण (i) से] इसी प्रकार, $ [ \frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{{{(a+c)}^{3}}} ]=0 $ और $ [ \frac{1}{c^{3}}+\frac{1}{{{(a+b)}^{3}}} ]=0 $ अब, $ \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}+\frac{1}{{{(a+b)}^{3}}}+\frac{1}{{{(b+c)}^{3}}}+\frac{1}{{{(c+a)}^{3}}}=0 $ वैकल्पिक विधि $ a+b+c=0 $
$ \Rightarrow $ $ a+b=-c $
$ \therefore $ $ \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}+\frac{1}{{{(a+b)}^{3}}}+\frac{1}{{{(b+c)}^{3}}}+\frac{1}{{{(c+a)}^{3}}} $ $ =\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}-\frac{1}{c^{3}}-\frac{1}{a^{3}}-\frac{1}{b^{3}}=0 $
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