मात्रात्मक योग्यता प्रश्न 1849
प्रश्न: एक शंकु की ऊँचाई 30 सेमी है। इसके शीर्ष को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा काटकर एक छोटा शंकु बनाया गया है। यदि इसका आयतन दिए गए शंकु के आयतन का ( \frac{1}{27} ) भाग है, तो आधार से कितनी ऊँचाई पर यह कटौती की गई है?
विकल्प:
A) 19 सेमी
B) 20 सेमी
C) 12 सेमी
D) 15 सेमी
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उत्तर:
सही उत्तर: B
हल:
- माना छोटे शंकु की ऊँचाई h सेमी है। दिया गया है, छोटे शंकु का आयतन ( =\frac{1}{27}\times ) बड़े शंकु का आयतन
( \Rightarrow ) ( V_{s}=\frac{1}{27}V_{B} ) ( \Rightarrow ) ( \frac{V_{s}}{V_{B}}=\frac{1}{27} ) … (i) तब, ( \frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}h}{\frac{1}{3}\pi R^{2}\times 30}=\frac{1}{27} ) ( [\because h=30] )
( \Rightarrow ) ( \frac{h}{30}\times {{( \frac{r}{R} )}^{2}}=\frac{1}{27} ) … (ii) ऊपर दिए गए चित्र में, ( \Delta ABC\sim \Delta ADE )
( \Rightarrow ) ( \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE} ) ( \Rightarrow ) ( \frac{h}{r}=\frac{30}{R} ) ( \Rightarrow ) ( \frac{r}{R}=\frac{h}{30} ) अब, समीकरण (ii) से ( \frac{1}{27}={{( \frac{h}{30} )}^{2}}\times \frac{h}{30} ) ( \Rightarrow ) ( {{(30)}^{3}}=27h^{3} )
( \Rightarrow ) ( {{(30)}^{3}}={{(3h)}^{3}} ) ( \Rightarrow ) ( h=10 ) तब, ( BD=30-h=30-10=20सेमी )
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