मात्रात्मक योग्यता प्रश्न 171
प्रश्न: यदि एक ΔABC में, BE और CF दो माध्यिकाएँ हैं जो एक-दूसरे पर लंबवत् हैं और यदि AB = 19 और AC = 22 सेमी है, तो BC की लंबाई है
विकल्प:
A) 26 सेमी
B) 20.5 सेमी
C) 13 सेमी
D) 19.5 सेमी
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उत्तर:
सही उत्तर: C
हल:
- ΔBOF में,
(BO)² + (OF)² = (19/2)²
⇒ (2/3 BE)² + (1/3 CF)² = (19/2)²
⇒ 4/9 (BE)² + 1/9 (CF)² = (19/2)² … (i)
ΔCOE में, (CO)² + (OE)² = (11)²
⇒ (2/3 CF)² + (1/3 BE)² = 121
⇒ 4/9 (CF)² + 1/9 (BE)² = 121 … (ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
5/9 (BE)² + 5/9 (CF)² = 121 + 361/4
⇒ (BE)² + (CF)² = 845/4 × 9/5 = 1521/4 … (iii)
अपोलोनियस प्रमेय से,
(AB)² + (BC)² = 2[(BE)² + (AE)²]
⇒ 19² + (BC)² = 2(BE)² + 2×11²
⇒ 2(BE)² – (BC)² = 361 – 242
⇒ 2(BE)² – (BC)² = 119 … (iv)
पुनः अपोलोनियस प्रमेय से,
(AC)² + (BC)² = 2[(CF)² + (AF)²]
⇒ 22² + (BC)² = 2(CF)² + 2·19²/4
⇒ 2(CF)² – (BC)² = 484 – 361/2 … (v)
अब समीकरण (iv) व (v) को जोड़ने पर,
2(BE)² + 2(CF)² – 2(BC)² = 119 + 484 – 361/2
⇒ 2(BE² + CF²) – 2BC² = 603 – 361/2
⇒ 2×1521/4 – 2(BC)² = 603 – 361/2
⇒ 2(BC)² = 1521/2 + 361/2 – 603
⇒ 2(BC)² = 338
⇒ (BC)² = 169
∴ BC = 13 cm
प्रश्न 171. यदि ( x = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4 + \frac{1}{2}}}} ), तो ( 2x ) का मान क्या है?
विकल्प:
A) 4
B) ( \frac{42}{11} )
C) ( \frac{82}{11} )
D) ( \frac{21}{11} )
समाधान:
चलिए चरणबद्ध रूप से ( x ) का मान निकालते हैं।
चरण 1: सबसे भीतर वाला भाग हल करें।
[ 4 + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} ]
चरण 2: अगला भाग हल करें।
[ 3 + \frac{1}{\frac{9}{2}} = 3 + \frac{2}{9} = \frac{27}{9} + \frac{2}{9} = \frac{29}{9} ]
चरण 3: अगला भाग हल करें।
[ 2 + \frac{1}{\frac{29}{9}} = 2 + \frac{9}{29} = \frac{58}{29} + \frac{9}{29} = \frac{67}{29} ]
चरण 4: अंतिम भाग हल करें।
[ x = 1 + \frac{1}{\frac{67}{29}} = 1 + \frac{29}{67} = \frac{67}{67} + \frac{29}{67} = \frac{96}{67} ]
चरण 5: अब, ( 2x ) का मान निकालें।
[ 2x = 2 \times \frac{96}{67} = \frac{192}{67} ]
लेकिन विकल्पों में यह मौजूद नहीं है। चलिए फिर से जांच करते हैं।
पुनः जांच:
चरण 1:
[ 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} ]
चरण 2:
[ 3 + \frac{1}{\frac{9}{2}} = 3 + \frac{2}{9} = \frac{29}{9} ]
चरण 3:
[ 2 + \frac{1}{\frac{29}{9}} = 2 + \frac{9}{29} = \frac{67}{29} ]
चरण 4:
[ x = 1 + \frac{1}{\frac{67}{29}} = 1 + \frac{29}{67} = \frac{96}{67} ]
चरण 5:
[ 2x = \frac{192}{67} ]
यह अभी भी विकल्पों में नहीं है। क्या कोई गणना त्रुटि है?
वैकल्पिक दृष्टिकोण:
चलिए भिन्न को सरल बनाने का प्रयास करते हैं।
[ x = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4 + \frac{1}{2}}}} ]
हम पहले ही गणना कर चुके हैं:
[ x = \frac{96}{67} ]
[ 2x = \frac{192}{67} ]
लेकिन विकल्पों में से कोई भी मेल नहीं खाता। क्या प्रश्न या विकल्पों में कोई त्रुटि है?
अंतिम उत्तर:
हमारी गणना के अनुसार, ( 2x = \frac{192}{67} ), लेकिन यह विकल्पों में नहीं है। सबसे निकटतम विकल्प C) ( \frac{82}{11} ) है, लेकिन यह सही नहीं है।
नोट: प्रश्न या दिए गए विकल्पों में संभावित त्रुटि है। सही उत्तर ( \frac{192}{67} ) है।
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