मात्रात्मक योग्यता प्रश्न 1454
प्रश्न: ΔABC में, X और Y क्रमशः भुजाओं AB और BC पर ऐसे बिंदु हैं कि XY || AC है और XY त्रिभुजीय क्षेत्र ABC को क्षेत्रफल में बराबर दो भागों में बाँटता है। तब, AX/AB बराबर है
विकल्प:
A) (2+√2)/2
B) (√2+3)/2
C) (2−√2)/2
D) (3−√2)/2
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उत्तर:
सही उत्तर: C
समाधान:
- प्रश्न के अनुसार, $ \frac{Δ ABC का क्षेत्रफल}{Δ BXY का क्षेत्रफल}=\frac{2}{1} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{AB^{2}}{BX^{2}}=\frac{2}{1} $ $ \Rightarrow $ $ \frac{AB}{BX}=\frac{\sqrt{2}}{1} $ [ $ \because $ समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात = ${(संगत भुजा के अनुपात)}^{2} $ ] दोनों पक्षों से 1 घटाने पर, हमें प्राप्त होता है $ \frac{AB}{BX}-1=\frac{\sqrt{2}}{1}-1 $
$ \Rightarrow $ $ \frac{AB-BX}{BX}=\frac{\sqrt{2}-1}{1} $
$ \therefore $ $ \frac{AX}{BX}=\frac{\sqrt{2}-1}{1} $ $ \Rightarrow $ $ \frac{BX}{AX}=\frac{1}{\sqrt{2}-1} $ [व्युत्क्रम] दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है $ \frac{BX}{AX}+1=\frac{1}{\sqrt{2}-1}+1 $
$ \Rightarrow $ $ \frac{BX+AX}{AX}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} $ $ \Rightarrow $ $ \frac{AB}{AX}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{AX}{AB}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} $ [व्युत्क्रम]
$ \Rightarrow $ $ \frac{AX}{AB}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $ $ \Rightarrow $ $ \frac{AX}{AB}=\frac{2-\sqrt{2}}{2} $
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