मात्रात्मक योग्यता प्रश्न 1033
प्रश्न: यदि $ a\sin \theta +b\cos \theta =c, $ तो $ a\cos \theta -b\sin \theta $ का मान है
विकल्प:
A) $ \pm \sqrt{a^{2}-b^{2}-c^{2}} $
B) $ \pm \sqrt{a^{2}-b^{2}+c^{2}} $
C) $ \pm \sqrt{-a^{2}+b^{2}+c^{2}} $
D) $ \pm \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}} $
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उत्तर:
सही उत्तर: D
हल:
- दिया गया है, $ a\sin \theta +b\cos \theta =c $ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है $ a^{2}{{\sin }^{2}}\theta +b^{2}{{\cos }^{2}}\theta +2ab\sin \theta \cos \theta =c^{2} $ $ [\because {{(a+b)}^{2}}=a^{2}+b^{2}+2ab] $
$ \Rightarrow $ $ a^{2}(1-{{\cos }^{2}}\theta )+b^{2}(1-{{\sin }^{2}}\theta )+2ab\sin \theta \cos \theta =c^{2} $
$ \Rightarrow $ $ a^{2}-a^{2}{{\cos }^{2}}\theta +b^{2}-b^{2}{{\sin }^{2}}\theta +2ab\sin \theta \cos \theta =c^{2} $
पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है
$ a^{2}+b^{2}-c^{2}=a^{2}{{\cos }^{2}}\theta +b^{2}{{\sin }^{2}}\theta -2ab\sin \theta \cos \theta $
$ \Rightarrow $ $ a^{2}+b^{2}-c^{2}={{(a\cos \theta -b\sin \theta )}^{2}} $
$ \Rightarrow $ $ a\cos \theta -b\sin \theta =\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}} $
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