1. परिचय

पिछले अध्याय में आपने आंकड़ों की सारणीबद्ध और आलेखीय प्रस्तुति के बारे में पढ़ा है। इस अध्याय में आप केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों का अध्ययन करेंगे जो आंकड़ों को संक्षेप में समझाने का एक संख्यात्मक तरीका है। आप दैनंदिन जीवन में बड़े सेट के आंकड़ों को संक्षेप में प्रस्तुत करने के उदाहरण देख सकते हैं, जैसे किसी कक्षा के विद्यार्थियों द्वारा किसी परीक्षा में प्राप्त औसत अंक, किसी क्षेत्र में औसत वर्षा, किसी कारखाने में औसत उत्पादन, किसी क्षेत्र में रहने वाले या किसी फर्म में कार्यरत व्यक्तियों की औसत आय आदि।

बैजू एक किसान है। वह बिहार के बक्सर जिले के बालापुर गाँव में अपनी ज़मीन पर खाद्यान्न उगाता है। गाँव में 50 छोटे किसान हैं। बैजू के पास 1 एकड़ ज़मीन है। आप बालापुर के छोटे किसानों की आर्थिक स्थिति जानने में रुचि रखते हैं। आप बालापुर गाँव में बैजू की आर्थिक स्थिति की तुलना करना चाहते हैं। इसके लिए आपको उसकी ज़मीन के आकार का मूल्यांकन करना होगा, जिसे बालापुर के अन्य किसानों की ज़मीन के आकार से तुलना करके किया जा सकता है। आप यह देखना चाहेंगे कि बैजू द्वारा स्वामित्व वाली ज़मीन -

1. सामान्य अर्थों में औसत से ऊपर है (अंकगणितीय माध्य देखें)
2. आधे किसानों की स्वामित्व वाली ज़मीन के आकार से ऊपर है (माध्यिका देखें)
3. अधिकांश किसानों की स्वामित्व वाली ज़मीन से ऊपर है (बहुलक देखें)

बैजू की सापेक्ष आर्थिक स्थिति का मूल्यांकन करने के लिए, आपको बालापुर के किसानों की भूमि धारण के संपूर्ण आंकड़ों का सारांश बनाना होगा। यह केंद्रीय प्रवृत्ति (central tendency) के उपयोग से किया जा सकता है, जो आंकड़ों को एक ऐसे एकल मान में संक्षेपित करता है कि यह एकल मान संपूर्ण आंकड़ों का प्रतिनिधित्व कर सके। केंद्रीय प्रवृत्ति की माप आंकड़ों को एक विशिष्ट या प्रतिनिधि मान के रूप में संक्षेपित करने की एक विधि है।

केंद्रीय प्रवृत्ति या “औसत” के कई सांख्यिकीय मापक हैं। सबसे अधिक प्रयोग होने वाले तीन औसत हैं:

• समांतर माध्य (Arithmetic Mean)
• माध्यिका (Median)
• बहुलक (Mode)

ध्यान दें कि औसत के दो और प्रकार भी हैं, अर्थात् ज्यामितीय माध्य (Geometric Mean) और हरात्मक माध्य (Harmonic Mean), जो कुछ विशेष परिस्थितियों में उपयुक्त होते हैं। फिर भी, वर्तमान चर्चा ऊपर उल्लिखित तीन औसतों तक सीमित रहेगी।

2. समांतर माध्य (Arithmetic Mean)

मान लीजिए छह परिवारों की मासिक आय (रुपयों में) इस प्रकार दी गई है: 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630।

माध्य परिवार आय प्राप्त की जाती है—सभी आय को जोड़कर और फिर परिवारों की संख्या से भाग देकर।

$=\frac{1600+1500+1400+1525+1625+1630}{6}$

= रु 1,547

इसका तात्पर्य है कि औसतन एक परिवार रु 1,547 कमाता है।

समांतर माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अधिक प्रयोग होने वाला मापक है। इसे सभी प्रेक्षणों के मानों का योग, प्रेक्षणों की संख्या से भाग देकर परिभाषित किया जाता है और इसे सामान्यतः $\overline{\mathrm{X}}$ द्वारा दर्शाया जाता है। सामान्य रूप में, यदि $\mathrm{N}$ प्रेक्षण $X_1,X_2,X_3$, …, $X_N$ हैं, तो समांतर माध्य इस प्रकार दिया जाता है

$$ \bar{X}=\frac{X _{1}+X _{2}+X _{3}+\ldots+X _{N}}{N} $$

दाहिने हाथ का पक्ष $\frac{\sum _{i=1}^{N} \mathrm{X} _{i}}{\mathrm{~N}}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ, $\mathrm{i}$ एक सूचकांक है जो क्रमिक मान 1,2 , $3, \ldots \mathrm{N}$ लेता है।

सुविधा के लिए, इसे सूचकांक i के बिना सरल रूप में लिखा जाएगा। इस प्रकार $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}$, जहाँ, $\Sigma \mathrm{X}=$ सभी प्रेक्षणों का योग और $\mathrm{N}=$ प्रेक्षणों की कुल संख्या।

समांतर माध्य की गणना कैसे की जाती है

समांतर माध्य की गणना को दो व्यापक श्रेणियों के अंतर्गत अध्ययन किया जा सकता है:

1. असमूहीकृत आंकड़ों के लिए समांतर माध्य।
2. समूहीकृत आंकड़ों के लिए समांतर माध्य।

असमूहीकृत आंकड़ों की श्रृंखला के लिए समांतर माध्य

प्रत्यक्ष विधि

प्रत्यक्ष विधि द्वारा समांतर माध्य एक श्रृंखला में सभी प्रेक्षणों का योग कुल प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।

उदाहरण 1

एक वर्ग में छात्रों के अर्थशास्त्र परीक्षा में प्राप्त अंकों के आंकड़ों से समांतर माध्य की गणना करें: $40,50,55$, $78,58$.

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma \mathrm{X}}{\mathrm{N}} \ & =\frac{40+50+55+78+58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

अर्थशास्त्र परीक्षा में छात्रों का औसत अंक 56.2 है।

माना गया माध्य विधि

यदि आंकड़ों में प्रेक्षणों की संख्या अधिक है और/या आंकड़े बड़े हैं, तो प्रत्यक्ष विधि द्वारा समांतर माध्य की गणना करना कठिन होता है। माना गया माध्य विधि का उपयोग करके गणना को आसान बनाया जा सकता है।

बड़ी संख्या में प्रेक्षणों तथा बड़ी संख्याओं वाले आँकड़ों से माध्य निकालने में समय बचाने के लिए आप कल्पित माध्य विधि का प्रयोग कर सकते हैं। यहाँ आप तर्क/अनुभव के आधार पर आँकड़ों में से किसी एक विशेष संख्या को समांतर माध्य मान लेते हैं। फिर आप इस कल्पित माध्य से प्रत्येक प्रेक्षण का विचलन निकालते हैं। इसके बाद आप इन विचलनों का योग निकालकर उसे कुल प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित कर सकते हैं। वास्तविक समांतर माध्य का आकलन कल्पित माध्य तथा विचलनों के योग और प्रेक्षणों की संख्या के अनुपात के योग से किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप से,

मान लीजिए, $\mathrm{A}=$ कल्पित माध्य

$\mathrm{X}=$ व्यक्तिगत प्रेक्षण

$\mathrm{N}=$ कुल प्रेक्षणों की संख्या

$d=$ कल्पित माध्य से व्यक्तिगत प्रेक्षण का विचलन, अर्थात् $d=X-A$

तब सभी विचलनों का योग $\Sigma \mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$ लिया जाता है

फिर $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ निकालिए

फिर $\overline{\mathrm{X}}$ पाने के लिए $\mathrm{A}$ और $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ को जोड़िए

इसलिए, $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

आपको याद रखना चाहिए कि कोई भी मान, चाहे वह आंकड़ों में मौजूद हो या नहीं, कल्पित माध्य मान लिया जा सकता है। हालांकि, गणना को सरल बनाने के लिए, आंकड़ों में केंद्र में स्थित मान को कल्पित माध्य के रूप में चुना जा सकता है।

उदाहरण 2

निम्नलिखित आंकड़े 10 परिवारों की साप्ताहिक आय को दर्शाते हैं।

परिवार

$\text { A } \text { B } \text { C } \text { D } \text { E } \text { F } \text { G } \text { H}$

$\text { I } \text{ J }$

साप्ताहिक आय (रुपये में)

850 700 100 750 5000 80 420 2500

400 360

परिवार की औसत आय की गणना कीजिए।

TABLE 5.1 कल्पित माध्य विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य की गणना

कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850+(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

इस प्रकार, दोनों विधियों द्वारा एक परिवार की औसत साप्ताहिक आय रु. 1,116 है। आप इसे प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करके जांच सकते हैं।

चरण विचलन विधि

गणनाओं को और भी सरल बनाया जा सकता है यदि कल्पित माध्य से लिए गए सभी विचलनों को एक सामान्य गुणनखंड ‘c’ से विभाजित कर दिया जाए। उद्देश्य बड़ी संख्यात्मक संख्याओं से बचना है, अर्थात् यदि $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ बहुत बड़ा है, तो $\mathrm{d}^{\prime}$ ज्ञात कीजिए। यह इस प्रकार किया जा सकता है:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

सूत्र नीचे दिया गया है:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{c} $$

जहाँ $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) / \mathrm{c}, \quad \mathrm{c}=$ सामान्य गुणनखंड, $\mathrm{N}=$ प्रेक्षणों की संख्या, $\mathrm{A}=$ कल्पित माध्य।

इस प्रकार, आप उदाहरण 2 में पद विचलन विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य की गणना कर सकते हैं,

$X=850+(266 / 10) \times 10=रु 1,116$.

समूहबद्ध आंकड़ों के लिए अंकगणितीय माध्य की गणना

विवृत श्रेणी

प्रत्यक्ष विधि

विवृत श्रेणी के मामले में, प्रत्येक प्रेक्षण के विरुद्ध बारंबारता को प्रेक्षण के मान से गुणा किया जाता है। इस प्रकार प्राप्त मानों को योग किया जाता है और कुल बारंबारताओं की संख्या से विभाजित किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप से,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fX}}{\Sigma \mathrm{f}} $$

जहाँ, $\Sigma \mathrm{fX}=$ चरों और बारंबारताओं के गुणनफल का योग।

$\Sigma f=$ बारंबारताओं का योग।

उदाहरण 3

एक आवासीय कॉलोनी में प्लॉट केवल तीन आकारों में आते हैं: 100 वर्ग मीटर, 200 वर्ग मीटर और 300 वर्ग मीटर और प्लॉटों की संख्या क्रमशः 200, 50 और 10 है।

टेबल 5.2 प्रत्यक्ष विधि द्वारा समांतर माध्य की गणना

प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करते हुए समांतर माध्य,

$\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}=\frac{33000}{260}=126.92$ वर्ग मीटर

इसलिए, आवास कॉलोनी में औसत प्लॉट आकार 126.92 वर्ग मीटर है।

कल्पित माध्य विधि

जैसा कि व्यक्तिगत श्रेणी के मामले में गणनाओं को कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है, जैसा कि पहले वर्णित किया गया है, एक सरल संशोधन के साथ। चूंकि प्रत्येक मद की आवृत्ति (f) यहाँ दी गई है, हम प्रत्येक विचलन (d) को आवृत्ति से गुणा करते हैं ताकि fd प्राप्त हो। फिर हम $\Sigma \mathrm{fd}$ प्राप्त करते हैं। अगला चरण सभी आवृत्तियों का योग प्राप्त करना है अर्थात् $\Sigma \mathrm{f}$। फिर $\Sigma \mathrm{fd} / \Sigma \mathrm{f}$ निकालें। अंत में, समांतर माध्य की गणना $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}}$ कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके की जाती है।

चरण विचलन विधि

इस स्थिति में, विचलनों को सामान्य गुणनखंड ‘c’ से विभाजित किया जाता है जिससे गणना सरल हो जाती है। यहाँ हम संख्यात्मक आँकड़ों का आकार घटाने के लिए $d^{\prime}=\frac{d}{c}=\frac{X-A}{c}$ का अनुमान लगाते हैं ताकि गणना आसान हो सके। फिर $\mathrm{fd}^{\prime}$ और $\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}$ प्राप्त करते हैं। पद विचलन विधि का उपयोग करके समांतर माध्य का सूत्र इस प्रकार दिया गया है,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c} $$

गतिविधि

• उदाहरण 3 में दिए गए आँकड़ों के लिए पद विचलन और कल्पित माध्य विधियों का उपयोग करके भूखंड का औसत आकार ज्ञात कीजिए।

सतत श्रेणी

यहाँ वर्ग अंतराल दिए गए हैं। सतत श्रेणी में समांतर माध्य की गणना करने की प्रक्रिया विविक्त श्रेणी के समान ही है। एकमात्र अंतर यह है कि विभिन्न वर्ग अंतरालों के मध्य-बिंदु लिए जाते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि वर्ग अंतराल विशिष्ट, समावेशक या असमान आकार के हो सकते हैं। विशिष्ट वर्ग अंतराल का उदाहरण है, मान लीजिए, 0-10, 10-20 इत्यादि। समावेशक वर्ग अंतराल का उदाहरण है, मान लीजिए, 0-9, 10-19 इत्यादि। असमान वर्ग अंतराल का उदाहरण है, मान लीजिए, 0-20, 20-50 इत्यादि। इन सभी स्थितियों में समांतर माध्य की गणना समान तरीके से की जाती है।

उदाहरण 4

निम्नलिखित विद्यार्थियों के औसत अंक (a) प्रत्यक्ष विधि (b) पद विचलन विधि का उपयोग करके गणना कीजिए।

प्रत्यक्ष विधि

अंक

0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50

50-60 $\quad$ 60-70

विद्यार्थियों की संख्या

5 $\quad$ 12 $\quad$ 15 $\quad$ 25 $\quad$ 8

3 $\quad$ 2

TABLE 5.3 विशिष्ट वर्ग अंतराल के लिए औसत अंकों की गणना प्रत्यक्ष विधि द्वारा

चरण:

1. प्रत्येक वर्ग के लिए मध्य मान प्राप्त करें जिसे $\mathrm{m}$ द्वारा दर्शाया गया है।
2. $\Sigma \mathrm{fm}$ प्राप्त करें और प्रत्यक्ष विधि सूत्र लागू करें:

$$ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{fm}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{2110}{70}=30.14 \mathrm{अंक} $$

चरण विचलन विधि

1. $\mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}}$ प्राप्त करें
2. $\mathrm{A}=35$ लें, (कोई भी मनमाना मान), $\mathrm{c}=$ सामान्य गुणनखंड।

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c}=35+\frac{(-34)}{70} \times 10 \ & =30.14 \text { अंक } \end{aligned} $$

A.M. के दो रोचक गुणधर्म

(i) समांतर माध्य के बारे में मदों के विचलनों का योग हमेशा शून्य के बराबर होता है। प्रतीकात्मक रूप से, $\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})=0$।

(ii) समांतर माध्य चरम मानों से प्रभावित होता है। किसी भी बड़े मान, चाहे वह किसी भी सिरे पर हो, इसे ऊपर या नीचे खींच सकता है।

भारित समांतर माध्य

कभी-कभी समांतर माध्य की गणना करते समय विभिन्न वस्तुओं को उनके महत्व के अनुसार भार देना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, दो वस्तुएँ हैं, आम और आलू। आप आमों की औसत कीमत $P_1$ और आलुओं की औसत कीमत $P_2$ ज्ञात करने में रुचि रखते हैं। समांतर माध्य होगा $\frac{p_1+p_2}{2}$। हालांकि, आप आलू की कीमत में वृद्धि को अधिक महत्व देना चाह सकते हैं $P_2$। ऐसा करने के लिए, आप उपभोक्ता के बजट में आमों की हिस्सेदारी $\left(\mathrm{W} _{1}\right)$ और आलुओं की हिस्सेदारी $\left(\mathrm{W} _{2}\right)$ को ‘भार’ के रूप में उपयोग कर सकते हैं। अब बजट में हिस्सेदारी के अनुसार भारित समांतर माध्य होगा $\frac{\mathrm{W} _{1} \mathrm{P} _{1}+\mathrm{W} _{2} \mathrm{P} _{2}}{\mathrm{~W} _{1}+\mathrm{W} _{2}}$

सामान्य रूप से भारित समांतर माध्य इस प्रकार दिया जाता है,

$$ \frac{\mathrm{w} _{1} \mathrm{x} _{1}+\mathrm{w} _{2} \mathrm{x} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}} \mathrm{x} _{\mathrm{n}}}{\mathrm{w} _{1}+\mathrm{w} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}}=\frac{\Sigma \mathrm{wx}}{\Sigma \mathrm{w}} $$

जब कीमतें बढ़ती हैं, तो आप उन वस्तुओं की कीमतों में वृद्धि में रुचि रख सकते हैं जो आपके लिए अधिक महत्वपूर्ण हैं। आप इसके बारे में अधिक जानकारी अध्याय 8 में सूचकांक संख्याओं की चर्चा में पढ़ेंगे।

गतिविधियाँ

• निम्नलिखित उदाहरण के लिए अंकगणितीय माध्य के गुण की जाँच करें:

$\qquad$ X: $\quad$ 4 $\quad$ 6 $\quad$ 8 $\quad$ 10 $\quad$ 12

• उपरोक्त उदाहरण में यदि माध्य 2 बढ़ जाए, तो व्यक्तिगत प्रेक्षणों पर क्या प्रभाव पड़ता है।
• यदि पहली तीन वस्तुएँ 2 बढ़ जाएँ, तो अंतिम दो वस्तुओं के मान क्या होने चाहिए ताकि माध्य वही रहे।
• मान 12 को 96 से प्रतिस्थापित करें। अंकगणितीय माध्य पर क्या प्रभाव पड़ता है? टिप्पणी करें।

3. माध्यिका

माध्यिका चर का वह स्थितिज मान है जो बंटन को दो समान भागों में विभाजित करता है, एक भाग उन सभी मानों को सम्मिलित करता है जो माध्यिका मान से बड़े या बराबर हैं और दूसरा भाग उन सभी मानों को सम्मिलित करता है जो माध्यिका मान से छोटे या बराबर हैं। माध्यिका वह “मध्य” अवयव है जब डेटा सेट को परिमाण के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। चूँकि माध्यिका विभिन्न मानों की स्थिति द्वारा निर्धारित होती है, इसलिए यदि सबसे बड़े मान का आकार बढ़ भी जाए तो इस पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

माध्यिका की गणना

माध्यिका को आसानी से डेटा को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक क्रमबद्ध करके और मध्य मान को ज्ञात करके गणना की जा सकती है।

उदाहरण 5

मान लीजिए हमारे पास डेटा सेट में निम्नलिखित प्रेक्षण हैं: $5,7,6,1,8$, $10,12,4$, और 3।

डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर आपके पास है:

$1,3,4,5,6,7,8,10,12$।

“मध्य स्कोर” 6 है, इसलिए माध्यिका 6 है। आधे स्कोर 6 से बड़े हैं और आधे स्कोर 6 से छोटे हैं।

यदि डेटा में सम संख्या में प्रेक्षण हों, तो दो प्रेक्षण मध्य में आएँगे। इस स्थिति में माध्यिका इन दो मध्य मानों का समांतर माध्य होती है।

गतिविधियाँ

• श्रृंखला के सभी चार मानों के लिए माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?

तालिका 5.4 विभिन्न श्रृंखलाओं का माध्य और माध्यिका

श्रृंखला	X (चर मान)	माध्य	माध्यिका
$\mathrm{A}$	$1,2,3$	$?$	$?$
$\mathrm{~B}$	$1,2,30$	$?$	$?$
$\mathrm{C}$	$1,2,300$	$?$	$?$
$\mathrm{D}$	$1,2,3000$	$?$	$?$

• क्या माध्यिका चरम मानों से प्रभावित होती है? आउटलायर क्या होते हैं?
• क्या माध्यिका माध्य से बेहतर विधि है?

उदाहरण 6

निम्नलिखित डेटा 20 विद्यार्थियों के अंक देता है। आपको माध्यिका अंक की गणना करनी है।

$25,72,28,65,29,60,30,54,32,53$, 33, 52, 35, 51, 42, 48, 45, 47, 46, 33.

डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, आपको प्राप्त होता है

$25,28,29,30,32,33,33,35,42$, $45,46,47,48,51,52,53,54,60$, 65,72 .

आप देख सकते हैं कि दो प्रेक्षण मध्य में हैं, 45 और 46। माध्यिका इन दो प्रेक्षणों का माध्य लेकर प्राप्त की जा सकती है:

माध्यिका $=\frac{45+46}{2}=45.5$ अंक

माध्यिका की गणना करने के लिए यह जानना आवश्यक है कि माध्यिका की स्थिति क्या है, अर्थात् माध्यिका किस मद/मदों पर स्थित है। माध्यिका की स्थिति निम्नलिखित सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

माध्यिका की स्थिति $=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {वाँ}}}{2}$ प्रेक्षण

जहाँ $\mathrm{N}=$ प्रेक्षणों की संख्या।

ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र आपको क्रमबद्ध श्रेणी में माध्यिका की स्थिति देता है, न कि माध्यिका स्वयं। माध्यिका इस सूत्र से परिकलित की जाती है:

माध्यिका $=$ $\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {वाँ}}}{2}$ प्रेक्षण का मान

विवृत श्रेणी

विवृत श्रेणी में माध्यिका की स्थिति अर्थात् $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {वाँ}}$ प्रेक्षण संचयी बारंबारता के माध्यम से स्थित किया जा सकता है। इस स्थिति पर संगत मान ही माध्यिका का मान होता है।

उदाहरण 7

व्यक्तियों की संख्या और उनकी संगत आय (₹ में) की बारंबारता वितरण नीचे दिया गया है। माध्यिका आय की गणना कीजिए।

$\begin{array}{lllll}\text { आय (₹ में): } & 10 & 20 & 30 & 40\end{array}$

व्यक्तियों की संख्या: $\quad 2 \quad 4 \quad 4 \quad 10 \quad 4$

माध्यिका आय की गणना करने के लिए, आप नीचे दिए गए अनुसार बारंबारता वितरण तैयार कर सकते हैं।

सारणी 5.5 विवृत श्रेणी के लिए माध्यिका की गणना

माध्यिका $(\mathrm{N}+1)$ / $2=(20+1) / 2=10.5^{\text {th }}$ प्रेक्षण में स्थित है। इसे संचयी बारंबारता के माध्यम से आसानी से स्थित किया जा सकता है। $10.5^{\text {th }}$ प्रेक्षण 16 की c.f. में आता है। इससे संबंधित आय Rs 30 है, इसलिए माध्यिका आय $\mathrm{Rs} 30$ है।

सतत श्रेणी

सतत श्रेणी के मामले में आपको माध्यिका वर्ग को स्थित करना होता है जहाँ $\mathrm{N} / 2^{\text {th }}$ मद $\left[\right.$ न कि $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {th }}$ मद] स्थित हो। फिर माध्यिका इस प्रकार प्राप्त की जा सकती है:

Median $=\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2-\text { c.f.) })}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h}$

जहाँ, $\mathrm{L}=$ माध्यिका वर्ग की निचली सीमा,

c.f. $=$ माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता,

$\mathrm{f}=$ माध्यिका वर्ग की बारंबारता,

$\mathrm{h}=$ माध्यिका वर्ग अंतराल का परिमाण।

यदि बारंबारता असमान आकार या परिमाण की है तो कोई समायोजन आवश्यक नहीं है।

उदाहरण 8

निम्नलिखित डेटा एक कारखाने में काम करने वाले व्यक्तियों की दैनिक मजदूरी से संबंधित है। माध्यिका दैनिक मजदूरी की गणना करें।

दैनिक मजदूरी (Rs में):

55-60 50-55 45-50 40-45 35-40 30-35

25-30 $20-25$

कार्यकर्ताओं की संख्या:

$\begin{array}{llllll}7 & 13 & 15 & 20 & 30 & 33\end{array}$

$28 \quad 14$

डेटा यहाँ अवरोही क्रम में व्यवस्थित है।

उपरोक्त उदाहरण में माध्यिका वर्ग $(\mathrm{N} / 2)^{\text {th }}$ मद (अर्थात् 160/2) $=80^{\text {th }}$ मद का मान है, जो 35-40 वर्ग अंतराल में आता है। माध्यिका के सूत्र को इस प्रकार लागू करते हुए:

तालिका 5.6 सतत श्रेणी के लिए माध्यिका की गणना

$$ \begin{aligned} \text { माध्यिका } & =\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2 - \text{ c.f.})}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h} \ & =35 + \frac{(80 - 75)}{30} \times (40 - 35) \ & =₹ 35.83 \end{aligned} $$

इस प्रकार, माध्यिका दैनिक वेतन ₹ 35.83 है। इसका अर्थ है कि 50% श्रमिक ₹ 35.83 से कम या बराबर वेतन प्राप्त कर रहे हैं और 50% श्रमिक इस वेतन से अधिक या बराबर वेतन प्राप्त कर रहे हैं।

आपको याद रखना चाहिए कि माध्यिका, केंद्रीय प्रवृत्ति की माप के रूप में, श्रेणी के सभी मानों के प्रति संवेदनशील नहीं होती है। यह आंकड़ों के केंद्रीय मदों के मानों पर केंद्रित होती है।

चतुर्थक

Quartiles वे मापक हैं जो आँकड़ों को चार बराबर भागों में बाँटते हैं, प्रत्येक भाग में समान संख्या में प्रेक्षण होते हैं। तीन quartiles होते हैं। पहला Quartile (जिसे $\mathrm{Q} _{1}$ से दर्शाया जाता है) या निम्न quartile के नीचे वितरण के 25% प्रेक्षण होते हैं और 75% प्रेक्षण इससे बड़े होते हैं। दूसरा Quartile (जिसे $\mathrm{Q} _{2}$ से दर्शाया जाता है) या माध्यिका के नीचे 50% प्रेक्षण होते हैं और 50% प्रेक्षण इसके ऊपर होते हैं। तीसरा Quartile (जिसे $\mathrm{Q} _{3}$ से दर्शाया जाता है) या ऊपरी Quartile के नीचे वितरण के 75% प्रेक्षण होते हैं और 25% प्रेक्षण इसके ऊपर होते हैं। इस प्रकार, $\mathrm{Q} _{1}$ और $\mathrm{Q} _{3}$ वे दो सीमाएँ दर्शाते हैं जिनके भीतर केंद्रीय 50% आँकड़े स्थित होते हैं।

Percentiles

Percentiles वितरण को सौ बराबर भागों में बाँटते हैं, इसलिए आपको 99 विभाजन स्थान मिलते हैं जिन्हें $\mathrm{P} _{1}, \mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{P} _{3}, \ldots, \mathrm{P} _{99} \cdot \mathrm{P} _{50}$ से दर्शाया जाता है। $\mathrm{P} _{50}$ माध्य मान है। यदि आपने किसी प्रबंधन प्रवेश परीक्षा में 82 percentile प्राप्त किया है, तो इसका अर्थ है कि आपकी स्थिति परीक्षा में उपस्थित कुल अभ्यर्थियों के 18 प्रतिशत से नीचे है। यदि कुल एक लाख विद्यार्थी उपस्थित हुए थे, तो आप कहाँ खड़े हैं?

Calculation of Buartiles

व्यष्टिगत और विच्छिन्न श्रेणी की स्थिति में चतुर्थांश (Quartile) को खोजने की विधि माध्यक (median) की भाँति ही होती है। एक क्रमबद्ध श्रेणी के $\mathrm{Q} _{1}$ और $\mathrm{Q} _{3}$ के मान निम्न सूत्र द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं, जहाँ $\mathrm{N}$ प्रेक्षणों की संख्या है।

$Q _{1}=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\mathrm{th}}}{4}$ वें पद का आकार

$Q _{3}=\frac{3(\mathrm{~N}+1)^{\text {th }}}{4}$ वें पद का आकार।

उदाहरण 9

दस विद्यार्थियों द्वारा एक परीक्षा में प्राप्त अंकों के आँकड़ों से निम्न चतुर्थांश (lower quartile) का मान गणना कीजिए।

$22,26,14,30,18,11,35,41,12,32$।

आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,

$11,12,14,18,22,26,30,32,35,41$।

$Q _{1}=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{4}$ वें पद का आकार $=\frac{(10+1)^{\text {th }}}{4}$ वें पद का आकार $=2.75^{\text {वें}}$ पद का आकार $=2$ वाँ पद +.75 (3 वाँ पद -2 वाँ पद) $=12+.75(14-12)=13.5$ अंक।

गतिविधि

• $\mathrm{Q} _{3}$ स्वयं ज्ञात कीजिए।

5. बहुलक (Mode)

कभी-कभी, आपको यह जानने में रुचि हो सकती है कि किसी श्रेणी का सबसे प्रतिनिधित्व करने वाला मान कौन-सा है या वह मान कौन-सा है जिसके आस-पास अधिकतम वस्तुओं की सांद्रता होती है। उदाहरण के लिए, एक निर्माता यह जानना चाहेगा कि जूतों का कौन-सा आकार सबसे अधिक मांग में है या कमीज़ का कौन-सा स्टाइल सबसे अधिक बार माँगा जाता है। यहाँ, बहुलक (Mode) सबसे उपयुक्त मापक है। ‘Mode’ शब्द फ्रेंच शब्द “la Mode” से लिया गया है, जिसका अर्थ है किसी बंटन का सबसे फैशनेबल मान, क्योंकि यह श्रेणी में सबसे अधिक बार दोहराया जाता है। बहुलक वह आँकड़ा मान है जो सबसे अधिक बार प्रेक्षित किया जाता है। इसे $\mathrm{M} _{\text {o }}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

बहुलक की गणना

विकृत श्रेणी (Discrete Series)

आँकड़ा समुच्चय $1,2,3,4,4,5$ पर विचार करें। इस आँकड़े के लिए बहुलक 4 है क्योंकि 4 सबसे अधिक बार (दो बार) आता है।

उदाहरण 10

निम्नलिखित विकृत श्रेणी को देखें:

चर $\quad$ 10 $\quad$ 20 $\quad$ 30 $\quad$ 40 $\quad$ 50

बारंबारता $\quad$ 2 $\quad$ 8 $\quad$ 20 $\quad$ 10 $\quad$ 5

यहाँ, जैसा कि आप देख सकते हैं, अधिकतम बारंबारता 20 है, इसलिए बहुलक का मान 30 है। इस स्थिति में, चूँकि बहुलक का एक अद्वितीय मान है, आँकड़ा एक-बहुलकीय (unimodal) है। लेकिन बहुलक अनिवार्यतः अद्वितीय नहीं होता, अंकगणितीय माध्य और माध्यिका के विपरीत। आपके पास दो बहुलकों वाला आँकड़ा (द्वि-बहुलकीय, bi-modal) या दो से अधिक बहुलकों वाला आँकड़ा (बहु-बहुलकीय, multi-modal) हो सकता है। यह भी सम्भव है कि कोई बहुलक न हो, यदि कोई भी मान बंटन में किसी अन्य मान की तुलना में अधिक बार न आए। उदाहरण के लिए, श्रेणी $1,1,2,2,3,3,4$, 4 में कोई बहुलक नहीं है।

सतत श्रेणी

सतत बारंबारता बंटन के मामले में बहुलक वर्ग वह वर्ग होता है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है। बहुलक को निम्न सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है:

$$ \mathrm{M} _{\mathrm{o}}=\mathrm{L}+\frac{\mathrm{D} _{1}}{\mathrm{D} _{1}+\mathrm{D} _{2}} \times \mathrm{h} $$

जहाँ $\mathrm{L}=$ बहुलक वर्ग की निचली सीमा $\mathrm{D} _{1}=$ बहुलक वर्ग की बारंबारता और बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता के बीच का अंतर (चिह्नों को नजरअंदाज करते हुए)।

$\mathrm{D} _{2}=$ बहुलक वर्ग की बारंबारता और बहुलक वर्ग से ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता के बीच का अंतर (चिह्नों को नजरअंदाज करते हुए)।

$h=$ बंटन की वर्ग अंतराल।

आप ध्यान दें कि सतत श्रेणी के मामले में, बहुलक परिकलित करने के लिए वर्ग अंतराल समान होने चाहिए और श्रेणी विशिष्ट होनी चाहिए। यदि मध्य-बिंदु दिए गए हैं, तो वर्ग अंतराल प्राप्त किए जाने चाहिए।

उदाहरण 11

निम्नलिखित आंकड़ों से बहुलक श्रमिक परिवार की मासिक आय का मान परिकलित कीजिए:

मासिक आय (हजार रुपये में) की कम-से-कम संचयी बारंबारता बंटन

जैसा कि आप देख सकते हैं यह संचयी बारंबारता बंटन का मामला है। मोड की गणना करने के लिए आपको इसे विशिष्ट श्रेणी में बदलना होगा। इस उदाहरण में श्रेणी अवरोही क्रम में है। मोड वर्ग निर्धारित करने के लिए इस सारणी को सामान्य बारंबारता सारणी (सारणी 5.7) में बदलना चाहिए।

मोड का मान 25-30 वर्ग अंतराल में स्थित है। निरीक्षण से भी यह स्पष्ट है कि यही मोड वर्ग है।

अब $\mathrm{L}=25, \mathrm{D} _{1}=(30-18)=12, \mathrm{D} _{2}=$ $(30-20)=10, h=5$

सूत्र का प्रयोग करके आप मोड का मान प्राप्त कर सकते हैं:

$\mathrm{M} _{\mathrm{O}}$ (हजार रुपये में)

$$ \begin{aligned} \mathrm{M} _{\mathrm{o}} & =\mathrm{L}+\frac{\mathrm{D} _{1}}{\mathrm{D} _{1}+\mathrm{D} _{2}} \times \mathrm{h} \\ & =25+\frac{12}{12+10} \times 5=27.273 \end{aligned} $$

इस प्रकार मोड कारी परिवार की मासिक आय रु. 27.273 है।

गतिविधियाँ

• एक जूता कंपनी, जो केवल वयस्कों के लिए जूते बनाती है, सबसे लोकप्रिय जूते के आकार को जानना चाहती है। कौन-सा औसत सबसे उपयुक्त होगा?
• निम्नलिखित वस्तुओं का उत्पादन करने वाली कंपनियों के लिए कौन-सा औसत सबसे उपयुक्त होगा? क्यों?

(i) डायरी और नोटबुक

(ii) स्कूल बैग

(iii) जींस और टी-शर्ट

• अपनी कक्षा में एक छोटा-सा सर्वेक्षण करें ताकि केंद्रीय प्रवृत्ति के उपयुक्त माप का उपयोग करके छात्रों की चीनी भोजन के प्रति पसंद को जाना जा सके।
• क्या मोड को आलेखीय रूप से स्थित किया जा सकता है?

6. अंकगणितीय माध्य, माध्यिका और मोड की सापेक्ष स्थिति

मान लीजिए हम व्यक्त करते हैं,

अंकगणितीय माध्य $=\mathrm{M} _{\mathrm{e}}$

माध्यिका $=\mathrm{M} _{\mathrm{i}}$

मोड $=\mathrm{M} _{\mathrm{o}}$

तीनों का सापेक्ष परिमाण $M _{e}>M _{i}>M _{o}$ या $M _{e}<M _{i}<M _{o}$ होता है (प्रत्यय वर्णानुक्रम में आते हैं)। माध्यिका सदैव अंकगणितीय माध्य और मोड के बीच होती है।

7. निष्कर्ष

केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप या औसत आँकड़ों का सार प्रस्तुत करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं। यह डेटा समूह का वर्णन करने के लिए एक एकल सबसे प्रतिनिधि मान निर्दिष्ट करता है। समांतर माध्य सबसे अधिक प्रयोग होने वाला औसत है। इसकी गणना सरल है और यह सभी प्रेक्षणों पर आधारित है। परन्तु यह चरम मदों की उपस्थिति से अत्यधिक प्रभावित होता है। ऐसे आँकड़ों के लिए माध्यिका एक बेहतर सार है। बहुलक प्रायः गुणात्मक आँकड़ों का वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है। माध्यिका और बहुलक को आलेखीय रूप से आसानी से परिकलित किया जा सकता है। खुले सिरे वाले वितरण के मामले में भी इन्हें आसानी से परिकलित किया जा सकता है। इस प्रकार, विश्लेषण के उद्देश्य और वितरण की प्रकृति के अनुसार उपयुक्त औसत का चयन करना महत्वपूर्ण है।

पुनरावलोकन

• केन्द्रीय प्रवृत्ति का माप एक एकल मान के साथ आँकड़ों का सार प्रस्तुत करता है, जो सम्पूर्ण आँकड़ों का प्रतिनिधित्व कर सकता है।
• समांतर माध्य को सभी प्रेक्षणों के मानों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित कर परिभाषित किया जाता है।
• समांतर माध्य से मदों के विचलनों का योग सदैव शून्य के बराबर होता है।
• कभी-कभी विभिन्न मदों को उनके महत्व के अनुसार भार देना आवश्यक होता है।
• माध्यिका वितरण का केन्द्रीय मान है इस अर्थ में कि माध्यिका से कम मानों की संख्या माध्यिका से अधिक मानों की संख्या के बराबर होती है।
• चतुर्थक सम्पूर्ण मानों के समूह को चार समान भागों में विभाजित करते हैं।
• बहुलक वह मान है जो सर्वाधिक बार घटित होता है।

अभ्यास

1. निम्नलिखित स्थितियों में कौन-सा औसत उपयुक्त होगा?

(i) तैयार कपड़ों का औसत आकार।

(ii) किसी कक्षा में विद्यार्थियों की औसत बुद्धिमत्ता।

(iii) किसी कारखाने में प्रति शिफ्ट औसत उत्पादन।

(iv) किसी औद्योगिक संस्था में औसत मजदूरी।

(v) जब औसत से निरपेक विचलनों का योग न्यूनतम हो।

(vi) जब चर की मात्राएँ अनुपातों में हों।

(vii) खुले अंत वाली बारंबारता बंटन की स्थिति में।

2. प्रत्येक प्रश्न के नीचे दिए गए बहुविकल्पों में से सर्वाधिक उपयुक्त विकल्प चुनिए।

(i) गुणात्मक मापन के लिए सर्वाधित उपयुक्त औसत है

(a) समांतर माध्य

(b) माध्यिका

(c) बहुलक

(d) गुणोत्तर माध्य

(e) उपर्युक्त में से कोई नहीं

(ii) चरम मानों की उपस्थिति से कौन-सा औसत सर्वाधिक प्रभावित होता है?

(a) माध्यिका

(b) बहुलक

(c) समांतर माध्य

(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं

(iii) $n$ मानों के समुच्चय के A.M. से विचलनों का बीजगणितीय योग होता है

(a) $\mathrm{n}$

(b) 0

(c) 1

(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं

[उत्तर. (i) b (ii) c (iii) b]

3. निम्नलिखित कथनों की सत्यता या असत्यता पर टिप्पणी कीजिए।

(i) माध्यिका से मानों के विचलन का योग शून्य होता है।

(ii) किसी श्रेणी की तुलना के लिए केवल औसत पर्याप्त नहीं होता।

(iii) समांतर माध्य एक स्थिति मान होता है।

(iv) ऊपरी चतुर्थक शीर्ष $25 %$ मानों का न्यूनतम मान होता है।

(v) माध्यिका चरम प्रेक्षणों से अत्यधिक प्रभावित होती है।

[उत्तर. (i) असत्य (ii) सत्य (iii) असत्य (iv) सत्य (v) असत्य]

4. यदि नीचे दिए गए आंकड़ों का समांतर माध्य 28 है, तो (a) लुप्त बारंबारता ज्ञात कीजिए, और (b) श्रेणी की माध्यिका ज्ञात कीजिए:

खुदरा दुकानों पर लाभ (रुपये में) $\quad$ 0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50 $\quad$ 50-60

खुदरा दुकानों की संख्या $\qquad \quad$ 12 $\qquad$ 18 $\qquad$ 27 $\qquad$ - $\qquad$ 17 $\qquad$ 6

(उत्तर: लुप्त बारंबारता का मान 20 है और माध्यक मान रु 27.41 है)

5. निम्न सारणी एक कारखाने के दस श्रमिकों की दैनिक आय देती है। समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

श्रमिक $\quad$ A $\quad$ B $\quad$ C $\quad$ D $\quad$ E $\quad$ F $\quad$ G $\quad$ H $\quad$ I

दैनिक आय (रुपये में) $\quad 120 \quad 150 \quad 180 \quad 200 \quad 250 \quad 300 \quad 220 \quad 350 \quad 370 \quad 260$ (उत्तर: रु 240)

6. 150 परिवारों की दैनिक आय से संबंधित निम्न जानकारी है। समांतर माध्य की गणना कीजिए।

7. एक गाँव की 380 परिवारों की भूमि अधिकार आकार नीचे दिए गए हैं। भूमि अधिकारों का माध्यक आकार ज्ञात कीजिए।

भूमि अधिकार आकार (एकड़ में)

100 से कम $\quad 100-200 \quad 200-300 \quad 300-400 \quad 400$ और ऊपर.

परिवारों की संख्या $\quad 40 \quad 89 \quad 148 \quad 64 \quad 39 $

(उत्तर: 241.22 एकड़)

8. निम्नलिखित श्रेणी एक फर्म में कार्यरत श्रमिकों की दैनिक आय से संबंधित है। परिकलन कीजिए (क) न्यूनतम 50% श्रमिकों की अधिकतम आय (ख) शीर्ष 25% श्रमिकों की न्यूनतम आय और (ग) न्यूनतम 25% श्रमिकों की अधिकतम आय।

दैनिक आय (रुपये में) $\quad 10-14 \quad 15-19 \quad 20-24 \quad 25-29 \quad 30-34 \quad 35-39$

श्रमिकों की संख्या $\quad 5 \quad 10 \quad 15 \quad 20 \quad 10 \quad 5$

(संकेत: माध्यिका, निम्न चतुर्थक और उच्च चतुर्थक परिकलित कीजिए।)

[उत्तर (क) रु 25.11 (ख) रु 19.92 (ग) रु 29.19]

9. निम्नलिखित सारणी एक गाँव के 150 खेतों में गेहूँ के उत्पादन प्रतिशत हेक्टेयर किलोग्राम में देती है। माध्य, माध्यिका और बहुलक मानों की गणना कीजिए।

उत्पादन प्रतिशत (किग्रा प्रति हेक्टेयर) $\quad 50-53 \quad 53-56 \quad 56-59 \quad 59-62 62-65 \quad 65-68 \quad 68-71 \quad 71-74 \quad 74-77$

खेतों की संख्या $\quad 3 \quad 8 \quad 14 \quad 30 \quad 36 \quad 28 \quad 16 \quad 10 \quad 5 $

(उत्तर: माध्य $=63.82 \mathrm{~kg}$ प्रति हेक्टेयर, माध्यिका $=63.67 \mathrm{~kg}$ प्रति हेक्टेयर, बहुलक $=63.29 \mathrm{~kg}$ प्रति हेक्टेयर)